Matematicas V (Unidad 3): 3.6 Propiedades Trasformada De Laplace

Como la transformada de Laplace se define en términos de una integral impropia que puede ser divergente, existen funciones para las cuales no existe dicha transformada, incluso hay funciones discontinuas, como la del ejemplo anterior, que pueden tener transformada; entonces, ¿ bajo qué condiciones una funciones tienen transformada de Laplace ?. Antes de dar una respuesta parcial a esta pregunta debemos dar algunas definiciones.

Decimos que una función $f:[a,b] \rightarrow$ $\mbox{$I \hspace{-1.3mm} R$}$

es continua a trozos si

está definida y es continua en todo $x \in [a,b]$ , salvo en un número finito de puntos , para $k=1,2,\ldots,n$ .
Para cada $x_k \in [a,b]$ los límites

$\displaystyle f(x_k^+) = \lim_{h \rightarrow 0} f(x_k + h) \hspace{1cm} f(x_k^-) = \lim_{h \rightarrow 0} f(x_k - h)$

existen. Note que, solamente uno de estos límites es pertinente si es uno de los extremos de .

Propiedades

Linealidad

$\mathcal{L}\left\{a f(t) + b g(t) \right\} = a \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} + b \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}$

Derivación

$\mathcal{L}\{f'(t)\} = s \mathcal{L}\{f(t)\} - f(0)$

$\mathcal{L}\{f''(t)\} = s^2 \mathcal{L}\{f(t)\} - s f(0) - f'(0)$

$\mathcal{L}\left\{ f^{(n)}(t) \right\} = s^n \mathcal{L}\{f(t)\} - s^{n - 1} f(0) - \cdots - f^{(n - 1)}(0)$

$\mathcal{L}\left\{ f^{(n)}(t) \right\} = s^n \mathcal{L}\{f(t)\} - \sum_{i=1}^{n} s^{n - i} f^{(i - 1)}(0)$

[editar]Integración

$\mathcal{L}\left\{ \int_0^t f(\tau)\, d\tau \right\} = {1 \over s} \mathcal{L}\{f\}$

Dualidad

$\mathcal{L}\{ t f(t)\} = -F'(s)$

Desplazamiento de la frecuencia

$\mathcal{L}\left\{ e^{at} f(t) \right\} = F(s-a)$

Desplazamiento temporal

$\mathcal{L}\left\{ f(t - a) u(t - a) \right\} = e^{-as} F(s)$

$\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-as} F(s) \right\} = f(t - a) u(t - a)$

Nota:

u (t)

es la función escalón unitario.

Desplazamiento potencia n-ésima

$\mathcal{L}\{\,t^nf(t)\} = (-1)^nD_s^n[F(s)]$

Convolución

$\mathcal{L}\{f*g\} = \mathcal{L}\{ f \} \mathcal{L}\{ g \}$

Transformada de Laplace de una función con periodo p

$\mathcal{L}\{ f \} = {1 \over 1 - e^{-ps}} \int_0^p e^{-st} f(t)\,dt$

Condiciones de convergencia

$\mathcal{L}\{(e^{t^2})\}$ (que crece más rápido que

e - s t

) no pueden ser obtenidas por Laplace, ya que $e^{t^2}$ , no es una función de orden exponencial de ángulos.

Ejemplo

Compruebe que no existe.

Solución

Usando la definición

Y puesto que la integral impropia

diverge, la transformada no existe.

Observación: la otra integral

es convergente para

, pues

La integral

diverge, pues, por el criterio de comparación

para toda

, con lo cual ambas integrales convergen o divergen; pero

diverge.

Así como hay tablas de integrales para facilitar la solución de problemas de integración, utilizaremos las tablas de transformadas de Laplace para agilizar la solución de problemas de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas, que en el tema anterior resolvimos por el método de coeficientes indeterminados. A continuación se presentan las transformadas de Laplace más comunes que utilizaremos, en la solución de problemas algebraicos y en los problemas de aplicación.

Matematicas V (Unidad 3)

Sunday, May 8, 2011

3.6 Propiedades Trasformada De Laplace