Tuesday, May 17, 2011

3.12 Funcion Delta Dirac


La delta de Dirac (inapropiadamente llamada función delta de Dirac) es una distribución(función generalizada) introducida por primera vez por el físico inglés Paul Dirac y, como distribución, define un funcional en forma de integral sobre un cierto espacio de funciones. Se escribe como:
\delta_{a}(x) \equiv \delta(x-a)
Siendo \delta(x)\, para el caso a = 0\,
En física, la delta de Dirac puede representar la distribución de densidad de una masa unidad concentrada en un punto a. Esta función constituye una aproximación muy útil para funciones picudas y constituye el mismo tipo de abstracción matemática que una carga o masa puntual. En ocasiones se denomina también función de impulso. Además, la delta de Dirac permite definir la derivada generalizada de funciones discontinuas. Concretamente, se tiene la siguiente relación con la función escalón:
\delta_a(x) = \theta_a'(x)\,




Definición [Función delta de Dirac]
La función delta de Dirac esta dada por

$\displaystyle \lim_{a \rightarrow 0} \delta_a(t-t_0) = \delta(t-t_0) $

Observación: la función delta de Dirac, no es una función, realmente es lo que se conoce como una función generalizada (o distribución).

 Teorema [Propiedades de la función delta]
La función delta de Dirac satisface las siguientes propiedades

\begin{displaymath} \delta(t-t_0) = \begin{cases} \infty & \text{Si $t = t_0$... ...nd{cases} \hspace{1cm} \int_0^{\infty} \delta(t-t_0) dt = 1 \end{displaymath}

  

El siguiente teorema establece la transformada de Laplace de la función delta de Dirac.

 Definición [Transformada de delta]
Para $ t_0>0$

$\displaystyle {\cal L} \{\delta(t-t_0) \} = e^{-st_0} $

Demostración
Para iniciar la prueba debemos escribir la función impulso unitario en términos de la función escalón unitario
$\displaystyle \delta_a(t-t_0) = \frac{1}{2a} \left( H(t - (t_0-a)) - H(t-(t_0 + a)) \right) $
De donde tenemos que

$\displaystyle {\cal L} \left\{ \delta_a \left(t - t_0 \right) \right\}$$\displaystyle =$$\displaystyle \frac{1}{2a} {\cal L} \left\{ H(t - (t_0-a)) \right\} - \frac{1}{2a} \left\{ H(t-(t_0 + a)) \right\}$
$\displaystyle =$$\displaystyle \frac{1}{2a} \left( \frac{e^{-s(t_0-a)}}{s} \right) - \frac{1}{2a} \left( \frac{e^{-s(t_0+a)}}{s} \right)$
$\displaystyle =$$\displaystyle e^{-st_0} \left( \frac{e^{sa} - e^{-sa}}{2sa} \right)$


con lo cual

$\displaystyle {\cal L} \left\{ \delta(t - t_0) \right\}$$\displaystyle =$$\displaystyle {\cal L} \left\{ \lim_{a \rightarrow 0} \delta_a(t- t_0) \right\}$
$\displaystyle =$$\displaystyle \lim_{a \rightarrow 0} {\cal L} \left\{ \delta_a(t- t_0) \right\}$
$\displaystyle =$$\displaystyle \lim_{a \rightarrow 0} e^{-st_0} \underbrace{\left( \frac{e^{sa} - e^{-sa}}{2sa} \right)}_{L'H \hat{o}pital}$
$\displaystyle =$$\displaystyle e^{-st_0} \lim_{a \rightarrow 0} \frac{se^{sa} + se^{-sa}}{2s}$
$\displaystyle =$$\displaystyle e^{-st_0}$



Observación: a partir de $ {\cal L} \left\{ \delta(t-t_0) \right\} =e^{-st_0}$ es razonable concluir que$ {\cal L} \left\{ \delta(t) \right\}=1$. Esto reafirma el hecho de que $ \delta(t)$ no es una función ordinaria, puesto que se espera que $ {\cal L} \{ f(t) \} $ cuando $ s \rightarrow \infty$.

Intuitivamente se puede imaginar la función δ(x) como una función que tiene un valor infinito en x = 0; tiene un valor nulo en cualquier otro punto, de tal manera que su integral es uno.
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