Matematicas V (Unidad 3): 3.16.1 Determinacion Trasformada Inversa Mediante Fracciones Parciales

Sunday, May 22, 2011

3.16.1 Determinacion Trasformada Inversa Mediante Fracciones Parciales

Un factor lineal repetido es un término (s-a)n, donde a es un número real y n es un entero positivo>=2. Recuerde que si (s-a)n aparece en el denominador de una expresión racional, entonces se supone que la descomposición contiene n fracciones parciales con numeradores y denominadores constantes (s-a), (s-a)2,…,(s-a)n.

Ejemplo.

Calcule
$\displaystyle {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{4s}{\left(s - 2 \right) \left( s^2 + 4 \right)} \right\}$

Solución

Para usar la propiedad de linealidad de la transformada inversa de Laplace primero debemos expandir

$\displaystyle \frac{4s}{\left(s - 2 \right) \left( s^2 + 4 \right)}$

en fraciones parciales

$\displaystyle \frac{1}{s-2} - \frac{s}{s^2 + 4} + \frac{2}{s^2 + 4}$
ahora sí

$\displaystyle {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{4s}{\left(s - 2 \right) \left( s^2 + 4 \right)} \right\}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{1}{s-2} \right\} - {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{s}{s^2 + 4} \right\} + {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{2}{s^2 + 4} \right\}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle e^{2t} - Cos(2t) + Sen(2t)$