3.11 Trasformada De Laplace Funcion Periodica

  Si f (t) es continua por tramos en [0, oo), de orden exponencial y periódica con periodo T,

(9)

DEMOSTRACION Expresamos la transformada de Laplace como dos integrales:

(10)

Escribiendo t = u + T, la última de las integrales de (9) se transforma en

Por consiguiente, la ecuación (10) es 

Al despejar  se llega al resultado de la ecuación (9).

Ejemplo 5 Transformada de Laplace de una función periódica

Determine la transformada de Laplace de la función periódica que muestra la figura 7.29.

SOLUCIÓN La función se puede definir en el intervalo 0 <_ t < 2 como sigue:

y fuera del intervalo mediante f(t + 2) = f(t). Con T = 2 aplicamos la ecuación (9) y la integración por partes:

(11)

El resultado en la ecuación (11) del ejemplo anterior se puede obtener sin necesidad de integrar, aplicando el segundo teorema de traslación. Si definimos

entonces f(t) = g (t) en el intervalo [0, T], donde T = 2. Pero podemos expresar g en términos de una función escalón unitario, en forma  . Así,

ß según (8), sección 7.3

Al examinar la expresión dentro de los paréntesis rectangulares vemos que es idéntica a (11).

EJERCICIOS:  PARA RESOLVER

EJERCICIOS 7. 4

1. Aplique el resultado (dldt)e^t = e^t y la ecuación (1) de esta sección para evaluar L {cos²t} .

2.  Aplique el resultado (dldt) cos²t = ‑ sen 2t y la ecuación (1) de esta sección para evaluar L{cos²t}.

En los problemas 3 y 4 suponga que una función y (t) cuenta con las propiedades y (0) = 1 y y'(0) = ‑1. Determine la transformada de Laplace de las expresiones siguientes.

3.y"+3y'                      4.y"‑4y'+5y

En los problemas 5 y 6 suponga que una función y (t) tiene las propiedades y (0) = 2 y y'(0) = 3. Despeje la transformada de Laplace L{y(t)} = Y(s).

5. y"‑2y'+y=0                      6. y"+y= 1

En los problemas 7 a 20 evalúe la transformada de Laplace en cada uno, sin evaluar la integral.

En los problemas 21 y 22 suponga que  Determine la transformada inversa de Laplace de cada función.

En los problemas 23 a 28 use las ecuaciones (4) o (7) para calcular f(t).

29. Demuestre la propiedad conmutativa de la integral de convolución

f *g = g * f.

30. Demuestre la propiedad distributiva de la integral de convolución

f * (g + h) = f * g + f * h.

En los problemas 31 a 38 aplique el teorema 7.10 para hallar la transformada de Laplace de la función periódica respectiva