2.2 CONDICIONES SUFICIENTES DE EXISTENCIA PARA TRANSFORMACION DE LAPLACE

Como la transformada de Laplace se define en términos de una integral impropia que puede ser divergente, existen funciones para las cuales no existe dicha transformada, incluso hay funciones discontinuas, como la del ejemplo anterior, que pueden tener transformada; entonces, ¿ bajo qué condiciones una funciones tienen transformada de Laplace ?. Antes de dar una respuesta parcial a esta pregunta debemos dar algunas definiciones.

Decimos que una función es continua a trozos si:

1. está definida y es continua en todo , salvo en un número finito de puntos , para
2. 
   
3. Para cada los límites :

existen. Note que, solamente uno de estos límites es pertinente si es uno de los extremos de .

En general, el requisito de que estos límites sean finitos en todos los puntos implica que las únicas discontinuidades de son discontinuidades de salto, del tipo que aparecen en la figura

Intuitivamente podríamos pensar que las funciones continuas a trozos son casi contínuas o que no son demasiado discontínuas.

Otra de las ideas importantes en el estudio de la existencia de la transformada de Laplace es que entendemos porqué una función no crezca demasiado rápido.

EJEMPLO:

Consideremos un sistema masa-resorte con m D 2 kg, una constante de amortiguamiento que ofrece
una resistencia al paso de la masa de 4 N por cada m/s de velocidad y una constante de restitución k D 10 N/m.
Supóngase que el sistema está inicialmente en reposo y en equilibrio por lo cual x.0/ D x 0.0/ D 0 y que la masa es
impulsada por una fuerza de excitación f .t / cuya gráfica se muestra en la figura adjunta: una onda cuadrada con
amplitud de 10 N y periodo igual a 2 . Encontrar la posición de la masa en cualquier instante.