Matematicas V (Unidad 3): May 2011

Un factor lineal repetido es un término (s-a)n, donde a es un número real y n es un entero positivo>=2. Recuerde que si (s-a)n aparece en el denominador de una expresión racional, entonces se supone que la descomposición contiene n fracciones parciales con numeradores y denominadores constantes (s-a), (s-a)2,…,(s-a)n.

Ejemplo.

Calcule
$\displaystyle {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{4s}{\left(s - 2 \right) \left( s^2 + 4 \right)} \right\}$

Solución

Para usar la propiedad de linealidad de la transformada inversa de Laplace primero debemos expandir

$\displaystyle \frac{4s}{\left(s - 2 \right) \left( s^2 + 4 \right)}$

en fraciones parciales

$\displaystyle \frac{1}{s-2} - \frac{s}{s^2 + 4} + \frac{2}{s^2 + 4}$
ahora sí

$\displaystyle {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{4s}{\left(s - 2 \right) \left( s^2 + 4 \right)} \right\}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{1}{s-2} \right\} - {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{s}{s^2 + 4} \right\} + {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{2}{s^2 + 4} \right\}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle e^{2t} - Cos(2t) + Sen(2t)$

Â• Transformada inversa de Laplace Â• Linealidad Â• Algunas transformadas inversas

Â• Uso de fracciones parciales

En la secciÃ³n anterior nos ocupamos del problema de transformar una funciÃ³n f(t) en otra funciÃ³n F(s) mediante la integral J ~ e s f (t) dt. La representamos simbÃ³licamente de la siguiente manera: T{ f(t)} = F(s). Ahora invertiremos el problema; es decir, dada F(s), hallar la funciÃ³n f(t) que corresponde a esa transformaciÃ³n. Se dice que f(t) es la transformada inversa de Laplace de F(s) y se expresa:

El anÃ¡logo del teorema 7.2 para la transformada inversa es el teorema 7.3, que presentamos en seguida.

L^-11 es una transformaciÃ³n lineal Suponemos que la transformada inversa de Laplace es, en sÃ, una transformaciÃ³n lineal; esto es, si a y ,Q son constantes,

en donde F y G son las transformadas de las funciones f y g.

La transformada inversa de Laplace de una funciÃ³n F(s) puede no ser Ãºnica. Es posible que,

y, sin embargo,

Pero para nuestros fines no nos ocuparemos de este caso. Si f1 y f2 son continuas por tramos en

y de orden exponencial cuando t > 0, y si , las funciones f y f2 son esencialmente iguales. VÃ©ase el problema 35, ejercicios 7.2. Sin embargo, si fi y f2 son continuas en , entonces f1 = f2 en dicho intervalo.

Â EJEMPLO 1Â AplicaciÃ³n del teorema 7.3

EvalÃºe

SOLUCIÃ“NÂ Â Para coincidir con la forma que aparece en la parte b) del teorema 7.3, vemos que n = 4, y despuÃ©s multiplicamos y dividimos entre 4!. En consecuencia,

EJEMPLO 2 AplicaciÃ³n del teorema 7.3

EvalÃºeÂ Â

SOLUCIÃ“NÂ Como K² = 64, arreglamos la expresiÃ³n multiplicÃ¡ndola y dividiÃ©ndola entre 8. SegÃºn la parte d) del teorema 7.3,

EJEMPLO 3 Â DivisiÃ³n tÃ©rmino a tÃ©rmino y linealidad

EvalÃºe

SOLUCIÃ“N La funciÃ³n dada de s se puede expresar en dos partes, con un comÃºn denominador:

De acuerdo con la propiedad de linealidad de la transformada inversa y las partes e) y d) del teorema 7.3, tenemos que

Fracciones parciales Las fracciones parciales desempeÃ±an un papel importante para determinar las transformadas inversas de Laplace. Como dijimos en la secciÃ³n 2.1, esta desÂcomposiciÃ³n en fracciones se puede efectuar con rapidez sÃ³lo con un comando en algunos sistemas algebraicos computacionales. En realidad, algunos paquetes cuentan con dotados con comandos para la transformada de Laplace y la transformada inversa de Laplace. Para los lectores que no tienen acceso a estos programas, en los tres ejemplos siguientes repasaremos las operaciones algebraicas bÃ¡sicas para los tres casos de descomposiciÃ³n en fracciones parciales; por ejemplo, los denominadores de

contienen, respectivamente, factores lineales distintos, factores lineales repetidos y una expreÂsiÃ³n cuadrÃ¡tica sin factores reales. ConsÃºltese la descripciÃ³n mÃ¡s completa de esta teorÃa en un libro de cÃ¡lculo infinitesimal.

EJEMPLO 4 Fracciones parciales y linealidad

EvalÃºeÂ

SOLUCIÃ“N Â Existen constantes A, B y C Ãºnicas, tales que

Dado que los denominadores son idÃ©nticos, los numeradores deben ser idÃ©nticos:

1=A (s+2) (s+4)+B(s‑1)(s+4)+C(s‑1)(s+2).

Comparamos los coeficientes de las potencias de s en ambos lados de la igualdad y tenemos que esta ecuaciÃ³n equivale a un sistema de tres ecuaciones con las tres incÃ³gnitas A, B y C; sin embargo, debemos recordar el mÃ©todo siguiente para determinarlas. Si hacemos s = 1, s = ‑2 y s = ‑4, que son los ceros del comÃºn denominador (s ‑1)(s + 2)(s + 4), obtenemos, a su vez,

1 = A(3)(5), 1 = B(‑3)(2), 1 = C(‑5)(‑2)

o sea que

por consiguiente, podremos escribir

y asÃ, segÃºn la parte c) del teorema 7.3

EJEMPLO 5‑.; Fracciones parciales y linealidad

EvalÃºe

SOLUCIÃ“NÂ Â Â Suponemos que

de modo que

s+1=As(s+2)3+B(s+2)3+Cs2(s+2)2+Ds2(s+2)+Es2.

Con s = 0 y s = ‑2 se obtienen B = g y E _ ‑ 4, respectivamente. Igualamos los coeficientes de s4, s3 y s llegamos a

0=A+C, 0=6A+B+4C+D, 1=8A+12B,

de donde se sigue que

; por consiguiente, de acuerdo con las partes a), b) y c) del teorema 7.3,

En lo anterior tambiÃ©n aplicamos

del ejemplo 6, secciÃ³n 7.1.

EJEMPLO 6 Fracciones parciales y linealidadÂ Â ‑‑

EvalÃºe

SOLUCIÃ“NÂ Â Suponemos que .

de modo que

3s ‑ 2 = As' (s2 + 4) + Bs(s2 + 4) + C(s2 + 4) + (Ds + E)s3.

Con s = 0 se obtiene de inmediato C = ‑ ?. Ahora bien, los coeficientes de s4, s3, s2 y s son, respectivamente,

0=A+D, Â 0=B+E,Â 0=4A+C,Â 3=4B,

de donde obtenemos

Â asÃ pues de acuerdo con las partes a), b), e) y d) del teorema 7.3,

SegÃºn seÃ±ala el teorema siguiente, no toda funciÃ³n arbitraria de s es ‑.xna transformada de Laplace de una funciÃ³n continua por tramos de orden exponencial.

TEOREMA 7.4 Comportamiento de F(s) cuando s Ã 00

Si f(t) es continua por tramos en [0, ‑) y de orden exponencial para t > T, entonces lÃms s Ã oo L { f(t)}= 0.

DEMOSTRACIÃ“N Dado que f(t) es continua parte por parte en

necesariamente es acotada en el intervalo; o sea,

TambiÃ©n,

cuando t > T. Si M representa el mÃ¡ximo de {MI, M2} y c indica el mÃ¡ximo de {0, y}, entonces

para s > c. Cuando s Ã oo, se tiene que /L{ f(t)}/ Ã 0, de modo que L {f(t)} Ã 0.

De acuerdo con el teorema 7.4 podemos decir que

no son transformadas de Laplace de funciones continuas por tramos de orden exponencial en virtud de que FI (s)

. El lector no debe sacar como conclusiÃ³n, por ejemplo, que no existe T‑1 {FI (s)}. Hay otros tipos de funciones.

ObservaciÃ³n,

Esta observaciÃ³n va dirigida a quienes se les pidan descomposiciones en fracciones parciales a mano. Hay otra forma de determinar los coeficientes en esas descomposiciones, en el caso especial cuando

son polinomios, y Q es un producto de factores distintos:

Veamos un ejemplo especÃfico. De acuerdo con la teorÃa de las fracciones parciales, sabemos que existen constantes A, B y C Ãºnicas tales que

Supongamos que multiplicamos ambos lados de esta ecuaciÃ³n por, digamos, s ‑1, simplificaÂmos e igualamos s =1. Como los coeficientes de B y C son cero, obtenemos

Expresado de otro modo,

en donde hemos sombreado, o cubierto, el factor que se anulÃ³ cuando el lado izquierdo de (1) fue multiplicado por s ‑1. No evaluamos este factor cubierto en s =1. Para obtener B y C, tan sÃ³lo evaluamos el lado izquierdo de (1) cubriendo, en su turno, a s ‑ 2 y a s + 3:

ObsÃ©rvese con cuidado que en el cÃ¡lculo de C evaluamos en s =‑3. Si reconstruye los detalles de la llegada a esta Ãºltima expresiÃ³n, el lector descubrirÃ¡ por quÃ© es asÃ. TambiÃ©n debe comprobar con otros mÃ©todos que